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    <title>波动方程</title>
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</head>
<body>

<h2>一维波动方程初值问题: 特征线法</h2>

<h3>一阶线性方程初值问题</h3>

<p>	在求解波动方程之前, 先看最简单的一阶线性方程.</p>

<p class="example">
	一阶线性方程 Cauchy 问题
	<span class="formula">`{
		(del u)/(del t) + a (del u)/(del x) = 0;
		u|_(t=0) = varphi(x);
	:}`, `a = "const"`, `varphi in C^1(RR)`
	</span>
	的解为 `u = varphi(x-at)`. 注意到 `u(x + a Delta t, t + Delta t) -=
	u(x)`, 故此解描述了以速度 `a` 传播而不改变形状的波.
</p>

<p class="example">
	我们以下面的方程为例介绍求解一阶线性方程的特征线法:
	<span class="formula">`{
		(del u)/(del t) + v(x) (del u)/(del x) + w(x) u = 0;
		u|_(t=0) = varphi(x);
	:}`, `varphi in C^1 (RR)`.
	</span>
</p>

<p class="solution">
	视 `x` 为 `t` 的函数, 则
	<span class="formula">
		`("d"u)/dt = (del u)/(del t) + dx/dt (del u)/(del x)`.
	</span>
	可见只要 `x = x(t, c)` 满足特征线方程:
	<span class="formula">`{
		dx/dt = v(x);
		x|_(t=0) = c;
	:}`, `c` 为参数
	</span>
	原方程就化为
	<span class="formula">`{
		("d"u)/dt + w(x(t, c)) u = 0;
		u|_(t=0) = varphi(c);
	:}`</span>
	解这个常微分方程, 再通过 `x = x(t, c)` 消去参数 `c`, 即得到原方程的解.
</p>

<h3>问题描述</h3>

<p>	求解一维波动方程初值问题:
	<span class="formula">`{
		square u = f(x,t), (x,t) in Q;
		u"|"_(t=0) = varphi(x), x in RR;
		u_t"|"_(t=0) = psi(x), x in RR;
	:}`
	</span>
	其中 `square u = (del^2 u)/{:del t:}^2 - a^2 (del^2 u)/{:del x:}^2`,
	`Q = RR xx (0, +oo)` 表示上半平面.
</p>

<h3>问题的分解</h3>

<p>	将一维波动方程初值问题一分为三:
	<span class="formula">`{
			square u_1 = 0, (x,t) in Q;
			u_1"|"_(t=0) = varphi(x), x in RR;
			(u_1)_t"|"_(t=0) = 0, x in RR;
		:}`
		<span class="label" id="for-question-1">(2-1)</span>
	</span>
	<span class="formula"> `{
			square u_2 = 0, (x,t) in Q;
			u_2"|"_(t=0) = 0, x in RR;
			(u_2)_t"|"_(t=0) = psi(x), x in RR;
		:}`
		<span class="label" id="for-question-2">(2-2)</span>
	</span>
	<span class="formula"> `{
			square u_3 = f(x,t), (x,t) in Q;
			u_3"|"_(t=0) = 0, x in RR;
			(u_3)_t"|"_(t=0) = 0, x in RR;
		:}`
		<span class="label" id="for-question-3">(2-3)</span>
	</span>
	记三个问题的解分别为 `u_1`, `u_2`, `u_3`, 由线性叠加原理, 原问题的解
	`u = u_1 + u_2 + u_3`.
</p>

<p class="theorem" id="the-three-in-one">
	问题 <a class="ref" href="#for-question-1"></a>,
	<a class="ref" href="#for-question-3"></a>的解可由
	<a class="ref" href="#for-question-2"></a>的解来表示.
	事实上, 记 `M_varphi`,
	`M_psi`, `M_(f_tau)` 分别为问题
	<a class="ref" href="#for-question-2"></a>
	的非齐次项 `psi(x)` 取
	`varphi(x)`, `psi(x)`, `f(x, tau)` 时的解, 且 `M_varphi`, `M_(f_tau)`
	在 `RR xx [0, +oo)` 上充分光滑, 则
	<span class="formula">
		`u_1 = del/(del t) M_varphi(x, t)`,<br/>
		`u_2 = M_psi(x, t)`,<br/>
		`u_3 = int_0^t M_(f_tau) (x, t - tau) "d"tau`.
	</span>
</p>

<ol class="proof">
	<li>由 `M_varphi` 定义,
		<span class="formula">`{
			square M_varphi = 0, x in RR"," t in (0, +oo);
			M_varphi"|"_(t=0) = 0, x in RR;
			(M_varphi)_t"|"_(t=0) = varphi(x), x in RR;
		:}`.</span>
		由 `M_varphi` 的光滑性假设,
		<span class="formula">
			`square u_1 = square del/(del t) M_varphi = del/(del t) square
			M_varphi = 0`,<br/>
			`{: u_1 |_(t=0) = {: del/(del t) M_varphi|_(t=0) =
				varphi(x)`,<br/>
			`{:(u_1)_t |_(t=0) = {:del^2/(del t^2) M_varphi|_(t=0)
			= a^2 {:del^2/(del x^2) M_varphi|_(t=0) = 0`.
		</span>
		最后一个等号成立是因为由 `M_varphi|_(t=0) = 0` 知 `M_varphi` 在
		`x` 轴上恒为 `0`, 其二阶偏导自然也为 `0`.
	</li>
	<li>记 `w = M_(f_tau)(x, t - tau)`, 由定义
		<span class="formula">`{
			square w = 0, x in RR"," t in (tau,+oo);
            w{:|:}_(t = tau) = 0, x in RR;
			(w_t)|_(t = tau) = f(x, tau), x in RR;
		:}`.</span>
		故
		<span class="formula">
			`u_3|_(t=0) = 0`,<br/>
			`(u_3)_t = int_0^t del/(del t) M_(f_tau)(x, t - tau) "d"tau
				+ M_(f_tau)(x, 0)`,<br/>
			`(u_3)_t|_(t=0) = 0 + 0 = 0`,<br/>
			`(u_3)_(t t) = int_0^t del^2/{:del t:}^2 M_(f_tau)(x, t-tau)
			"d"tau + del/(del t) M_(f_tau)(x, 0)`
			`= a^2 del^2/{:del x:}^2 int_0^t M_(f_tau)(x, t-tau)"d"tau
			+ f(x, tau)`
			`= a^2 (u_3)_(x x) + f(x, t)`.
		</span>
		故 `square u_3 = f(x, t)`.
	</li>
</ol>

<p class="remark">
	此定理可以推广到多维波动方程, 证明类似.
</p>

<h3>D'Alembert 公式</h3>

<p class="theorem">
	<b>D'Alembert 公式</b>
	一维波动方程初值问题的形式解为
	<span class="formula">
		`u = 1/2 (varphi(x + at) + varphi(x - at))`
		`+ 1/(2a) int_(x-at)^(x+at) psi(xi) "d"xi`
		`+ 1/(2a) int_0^t "d"tau int_(x-a(t-tau))^(x+a(t-tau)) f(xi, tau)
		"d"xi`.
	</span>
</p>

<p class="solution">
	由以上讨论, 只需求解 <a class="ref" href="#for-question-2"></a>. 由于
	<span class="formula">
		`square = del^2/{:del t:}^2 - a^2 del^2/{:del x:}^2 = (del/(del t)
		+ a del/(del x))(del/(del t) - a del/(del x))`,
	</span>
	我们可以把 `square u = 0` 分解为
	<span class="formula">`{
		(del u)/(del t) - a (del u)/(del x) = v;
		(del v)/(del t) + a (del v)/(del x) = 0;
	:}`,</span>
	从而将 <a class="ref" href="#for-question-2"></a>化为两个一阶初值问题:
	<span class="formula">`{
		(del u)/(del t) - a (del u)/(del x) = v;
		u|_(t=0) = 0;
	:}`, `quad`
	`{
		(del v)/(del t) + a (del v)/(del x) = 0;
		v|_(t=0) = psi(x);
	:}`.</span>
	它们的特征线为 `x_1 = c_1 - at` 和 `x_2 = c_2 + at`. 沿着特征线,
	这两个问题化为
	<span class="formula">`{
		("d"u)/dt = v(c_1 - at, t);
		u|_(t=0) = 0;
	:}`,
		<span class="label" id="for-dalembert-1">(2-4)</span>
	</span>
	<span class="formula">
	`{
		("d"v)/dt = 0;
		v|_(t=0) = psi(c_2);
	:}`
		<span class="label" id="for-dalembert-2">(2-5)</span>
	</span>
	从 <a class="ref" href="#for-dalembert-2"></a> 解出 `v = psi(x-at)`
	代入 <a class="ref" href="#for-dalembert-1"></a> 得
	<span class="formula">
		`u_2 = u = int_0^t psi(c_1 - 2a tau)"d"tau = -1/(2a) int_(c_1)^(c_1
		- 2a t) psi(xi)"d"xi = 1/(2a) int_(x-at)^(x+at) psi(xi)"d"xi`.
	</span>
	由<a class="ref" href="#the-three-in-one"></a>,
	<span class="formula">
		` u_1
		= del/(del t) 1/(2a) int_(x-at)^(x+at) varphi(xi)"d"xi
		= 1/2 (varphi(x+at) + varphi(x-at))`,<br/>
		` u_3
		= 1/(2a) int_0^t "d" tau int_(x-a(t-tau))^(x+a(t-tau)) f(xi,
		tau)"d"xi`.
	</span>
</p>

<p class="theorem">
	若 `varphi in C^2 (RR)`, `psi in C^1(RR)`, `f in C^1(bar Q)`,
	则一维波动方程初值问题存在唯一的解 `u in C^2(bar Q)`,
	其表达式由 D'Alembert 公式给出.
</p>

<p class="corollary">
	若 `varphi`, `psi`, `f` 是 `x` 的偶 (奇, 周期) 函数, 则解 `u` 亦是 `x`
	的偶 (奇, 周期) 函数.
</p>

<h3>特征锥</h3>

<p>	由 D'Alembert 公式知道, `u` 只由 `varphi` 在 `x+-at` 两点的值和 `psi`
	在 `[x-at, x+at]` 上的值和 `f` 在<b>特征锥</b>
	<span class="formula">
		`K: {
			tau in [0"," t];
			xi in [x-a (t-tau)"," x + a (t-tau)];
		:}`
	</span>
	上的值决定. 我们引入下面的术语:
</p>

<table>
	<tr>
		<td>点 `(x, t)` 的依赖区间</td>
		<td>`[x-at, x+at]`</td>
		<td><img src="pic/"/></td>
	</tr>
	<tr>
		<td>区间 `[x_1, x_2]` 的决定区域</td>
		<td>`[x_1, x_2]` 和两腰 `x_1 = xi - a tau`, `x_2 = xi + a tau`
			围成的三角形区域
		</td>
		<td><img src="pic/"/></td>
	</tr>
	<tr>
		<td>区间 `[x_1, x_2]` 的影响区域</td>
		<td>`[x_1, x_2]` 和两腰 `x_1 = xi + a tau`, `x_2 = xi - a tau`
			围成的半无界区域
		</td>
		<td><img src="pic/"/></td>
	</tr>
</table>

<p>	波动以速度 `a` 沿着特征线传播, 解的奇性 (函数本身或其导数的间断)
	也以相同速度沿特征线传播.
</p>

<h3>能量不等式</h3>

<p>	本段建立的能量不等式将从另一角度证明波动方程解的唯一性.
	能量不等式应用范围广, 波动方程的一维到多维, 初值问题到边值问题,
	乃至热传导方程都可以建立起能量不等式.
</p>

<p class="lemma">
	<b>Gronwall 不等式</b>
	设非负函数 `G(tau) in C^1[0, t_0]`, `G(0) = 0`; 非负函数 `F(tau) in
	L[0, t_0]`, `F(tau)` 单增, 且存在常数 `c gt 0`, 使
	<span class="formula">
		`G'(tau) le c G(tau) + F(tau)`.
		<span class="label" id="for-gronwall-inequality-cond">(2-6)</span>
	</span>
	则
	<span class="formula">
		`G'(tau) le "e"^(c tau) F(tau)`, `quad`
		`G(tau) le c^-1 ("e"^(c tau) - 1) F(tau)`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	在 <a class="ref" href="#for-gronwall-inequality-cond"></a>
	两边同乘 `"e"^(-c tau)` 得
	<span class="formula">
		`"d"/("d"tau) ("e"^(-c tau) G(tau)) le "e"^(-c tau) F(tau)`.
	</span>
	两边在 `[0, tau]` 上积分,
	<span class="formula">
		`"e"^(-c tau) G(tau) le int_0^tau "e"^(-c t) F(t) dt`
		`le F(tau) int_0^tau "e"^(-c t) dt = F(tau) c^-1(1-"e"^(-c tau))`,
	</span>
	即
	<span class="formula">
		`G(tau) le c^-1 ("e"^(c tau) - 1) F(tau)`.
	</span>
	再利用 <a class="ref" href="#for-gronwall-inequality-cond"></a>,
	<span class="formula">
		`G'(tau) le "e"^(c tau) F(tau)`.
	</span>
</p>

<p class="theorem">
	<b>能量不等式</b>
	设 `u in C^1(bar Q) nn C^2(Q)` 为一维波动方程初值问题的解,
	`tau in [0, t_0]`,
	`Omega_tau = [x_0-a(t_0-tau), x_0+a(t_0-tau)]`,
	`K_tau = { t in [0"," tau]; x in Omega_t :}`,
	则对函数 `v = u_t^2 + a^2 u_x^2` 有估计
	<span class="formula">
		`max{
			int_(Omega_tau) [u_t^2 + a^2 u_x^2]_(t=tau) dx,
			iint_(K_tau) (u_t^t + a^2 u_x^2) dx dt
		}` `le e^(t_0) (
			int_(Omega_0) (psi^2 + a^2 varphi_x^2) dx
		+	iint_(K_tau) f^2 dx dt
		)`,
	</span>
	即
	<span class="formula">
		`max{
			int_(Omega_tau) v|_(t=tau) dx,
			iint_(K_tau) v dx dt
		} le "e"^(t_0) (
			int_(Omega_0) v|_(t=0) dx
		+	iint_(K_tau) f^2 dx dt
		)`.
	</span>
</p>

<div class="img md">
	<img src="../img/wave-equation-energy-inequality.svg"/>
</div>

<p class="proof">
	在波动方程 `u_(t t) - a^2 u_(x x) = f` 两边同乘 `u_t`, 并在 `K_tau`
	上积分:
	<span class="formula">`{:
			,iint_(K_tau) u_t f dx dt;
		=,	iint_(K_tau) u_t (u_(t t) - a^2 u_(x x)) dx dt;
		=,	iint_(K_tau) (1/2 del/(del t) (u_t^2) - a^2 (del/(del x) (u_t
			u_x) - 1/2 del/(del t) (u_x^2))) dx dt
		quad ("分部积分");
		=,	iint_(K_tau) (1/2 del/(del t) (u_t^2 + a^2 u_x^2) - a^2
			del/(del x) (u_t u_x)) dx dt;
		=,	-oint_(del K_tau) 1/2 (u_t^2 + a^2 u_x^2) dx + a^2 (u_t u_x)
			dt
		quad ("Green 公式");
		=,	1/2 int_(Omega_tau) (u_t^2 + a^2 u_x^2) dx
			- 1/2 int_(Omega_0) (psi^2 + a^2 varphi_x^2) dx
			- int_(Gamma_(tau_L) uu Gamma_(tau_R))
			1/2 (u_t^2 + a^2 u_x^2) dx + a^2 (u_t u_x) dt;
		=,	"J"_1 + "J"_2 -a/2 int_(Gamma_(tau_L)) (u_t + a u_x)^2 dt
			+ a/2 int_(Gamma_(tau_R)) (u_t - a u_x)^2 dt
		quad (Gamma_(tau_L): dx = a dt; Gamma_(tau_R): dx = -a dt);
		ge,	"J"_1 + "J"_2.
		quad (Gamma_(tau_L): t" 减小"; Gamma_(tau_R): t" 增大");
	:}`
	</span>
	记
	<span class="formula">
		`G(tau) = iint_(K_tau) (u_t^2 + a^2 u_x^2) dx dt`,<br/>
		`F(tau) = int_(Omega_0)(psi^2 + a^2 varphi_x^2) dx + iint_(K_tau)
		f^2 dx dt`,
	</span>
	则
	<span class="formula">
		`G'(tau)`
		`= int_(Omega_tau) (u_t^2 + a^2 u_x^2) dx`
		`le int_(Omega_0) (psi^2 + a^2 varphi_x^2) dx
		    + 2 iint_(K_tau) u_t f dx dt`
	</span>
	再利用对任意正数 `a`, `b` 成立的不等式 `2ab le a^2 + b^2`,
	<span class="formula">
		`G'(tau) le int_(Omega_0)(psi^2 + a^2 varphi_x^2) dx
		    + iint_(K_tau) f^2 dx dt + iint_(K_tau) u_t^2 dx dt`
		`le F(tau) + G(tau)`.
	</span>
	由 Gronwall 不等式,
	<span class="formula">
		`G'(tau) le "e"^tau F(tau) le "e"^(t_0) F(tau)`,<br/>
		`G(tau) le ("e"^tau-1) F(tau) le "e"^(t_0) F(tau)`.
	</span>
	即所要证的结论.
</p>

<p class="remark">
	对于弦振动问题, 弦段 `dx` 在时刻 `t` 的动能为 `1/2 rho u_t^2 dx`,
	应变能 (势能) 为 `1/2 T u_x^2 dx`. 考虑到 `a^2 = T/rho`,
	因此不计常数因子,
	<span class="formula">
		`int_(Omega_tau) (u_t^2 + a^2 u_x^2) dx`
	</span>
	表示弦段 `Omega_tau` 在 `tau` 时刻的总能量,
	称为<b>能量积分</b>或<b>能量模</b>.
</p>

<p class="remark">
	对多维波动方程初值问题也有类似的能量不等式, 且证明类似. 如二维情形下,
	记特征锥
		`K: |bm x - bm x_0|^2 le a^2 (t-t_0)^2`,
		`K_tau = K nn {t le tau}`,
		`Omega_tau = K nn {t = tau}`,
	函数
		`v = u_t^2 + a^2 |grad u|^2`.
	则
	<span class="formula">
		`  iint_(Omega_tau) v \ dxdy`
		`le M (iint_(Omega_0) v|_(t=0) dxdy + iiint_(K_tau) f^2 dxdydz)`.
	</span>
</p>

<p class="corollary">
	对 `u` 的 `L^2` 模有估计
	<span class="formula">
		`max{
			int_(Omega_tau) u^2|_(t = tau) dx,
			iint_(K_tau) u^2 dx dt
		}` `le "e"^(t_0) ("e"^(t_0)+1) (
			int_(Omega_0) (varphi^2 + psi^2 + a^2 varphi_x^2) dx
			+ iint_(K_tau) f^2 dx dt
		)`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	`AA tau in [0, t_0]`, 注意到矩形 `Omega_tau xx [0,
	tau]`上的积分小于梯形 `K_tau` 上的, 有
	<span class="formula">`{:
			int_(Omega_tau) [u^2]_(t=0)^(t=tau) dx
		,=	int_(Omega_tau) dx int_0^tau del/(del t) u^2 dt;
		,le	2 iint_(K_tau) |u u_t| dx dt;
		,le	iint_(K_tau) u^2 dx dt + iint_(K_tau) u_t^2 dx dt.
	:}` </span>
	令
	<span class="formula">
		`G(tau) = iint_(K_tau) u^2 dx dt`,<br/>
		`F(tau) = int_(Omega_0) varphi^2 dx + iint_(K_tau) u_t^2 dx dt`,
	</span>
	于是
	<span class="formula">
		`  G'(tau)
		=  int_(Omega_tau) u^2|_(t=tau) dx
		le int_(Omega_tau) varphi^2 dx + iint_(K_tau) u^2 dx dt
		   + iint_(K_tau) u_t^2 dx dt`
		`le int_(Omega_0) varphi^2 dx + iint_(K_tau) u^2 dx dt +
		   iint_(K_tau) u_t^2 dx dt
		= G(tau) + F(tau)`.
	</span>
	由 Gronwall 不等式,
	<span class="formula">
		`   max{G(tau), G'(tau)} le "e"^(t_0) F(tau)`
		`le "e"^(t_0) (int_(Omega_0) varphi^2 dx + iint_(K_tau) (u_t^2 +
		a^2 u_x^2) dx dt)`
		`le "e"^(t_0) ("e"^(t_0) + 1) (int_(Omega_0) varphi^2 dx +
			int_(Omega_0) (psi^2 + a^2 varphi_x^2) dx
			+ iint_(K_tau) f^2 dx dt)`.
	</span>
</p>

<p class="remark">
	由 `u` 的能量模估计与 `L^2` 模估计, 可以得到波动方程 Cauchy
	问题解的唯一性以及能量模意义下解对 `varphi`, `psi`, `f` 的连续依赖性.
</p>

<h2>一维波动方程半无界问题: 对称开拓法</h2>

<h3>问题描述</h3>

<p>	记 `R = (0, +oo)`, `Q = R xx R`, 在 `bar Q`
	上求解第一类边界条件的半无界问题
	<span class="formula">`{
		square u = f(x, t), (x, t) in Q;
		u"|"_(t=0) = varphi(x), x in bar R;
		u_t"|"_(t=0) = psi(x), x in bar R;
		u"|"_(x=0) = g(t), t in R;
	:}`
	</span>
</p>

<h3>形式解</h3>

<ol>思路: 适当将 `varphi`, `psi`, `f` 延拓到整个上半平面,
	将半无界问题化为无界问题, 再使解 `u` 适合边界条件 `u|_(x=0) = g(t)`.
<li>令 `v = u - g(t)`, 则 `v` 适合
	<span class="formula">`{
		square v = f(x, t) - g''(t);
		v"|"_(t=0) = varphi(x) - g(0);
		v_t"|"_(t=0) = psi(x) - g'(0);
		v"|"_(x=0) = 0;
	:}`
	</span>
	此时边界条件已化为齐次的.
</li>
<li>为使 `v` 是 `x` 的奇函数, 对 `varphi`, `psi`, `f` 作<b>奇延拓</b>:
	<span class="formula">
		`bar varphi(x) = {
			varphi(x), x ge 0;
			-varphi(-x), x lt 0;
		:}\ `, `quad`
		`bar psi(x) = {
			psi(x), x ge 0;
			-psi(-x), x lt 0;
		:}\ `,
		`bar f(x, t) = {
			f(x, t), x ge 0"," t ge 0;
			-f(-x, t), x lt 0"," t ge 0;
		:}\ `.
	</span>
	求得无界问题的解 `bar v` 后, 再令 `v = bar v|_(x ge 0)`. 联系
	D'Alembert 公式,
	`x ge at` 时,
	<span class="formula">
		` v(x, t) 
		= 1/2 (varphi(x-at) + varphi(x+at))`
		`+ 1/(2a) int_(x-at)^(x+at) psi(xi) "d"xi`
		`+ 1/(2a) int_0^t "d"tau int_(x-a(t-tau))^(x+a(t-tau))
		f(xi, tau) "d"xi`.
		  <span class="label" id="for-half-unbounded-1">(2-7)</span>
	</span>
	`x lt at` 时,
	<span class="formula">
		` v(x, t)
		= 1/2(varphi(at+x) - varphi(at-x))`
		 `+ 1/(2a) (int_(x-at)^0 - psi(-xi) "d"xi
		  + int_0^(x+at) psi(xi) "d" xi)`
		 `+ 1/(2a) int_(t-x/a)^t "d"tau int_(x-a(t-tau))^(x+a(t-tau))
		  f(xi, tau) "d"xi`
	     `+ 1/(2a) int_0^(t-x/a) "d"tau (int_0^(x+a(t-tau)) f(xi, tau)
		  "d"xi + int_(x-a(t-tau))^0 -f(-xi, tau) "d"xi)`
		`=1/2(varphi(at+x) - varphi(at-x))`
		`+ 1/(2a) int_(at-x)^(at+x) psi(xi) "d"xi`
		`+ 1/(2a) (int_(t-x/a)^t "d"tau int_(x-a(t-tau))^(x+a(t-tau))
		f(xi, tau) "d"xi
		+ int_0^(t-x/a) "d"tau
		int_(a(t-tau)-x)^(a(t-tau)+x) f(xi, tau) "d"xi)`.
		  <span class="label" id="for-half-unbounded-2">(2-8)</span>
	</span>
</li>
</ol>

	<img src="pic/"/>
	<img src="pic/"/>

<h3>相容性条件</h3>

<ol>为使 `u` 确实是半无界问题的解, 除了对 `f`, `varphi`, `psi`
	的光滑性要求外, 还必须在角点 `(0, 0)` 处加上<b>相容性条件</b>
	(<b>连接条件</b>):
	<li>`u` 在 `(0, 0)` 连续, 即 `varphi(0) = g(0) = 0`;</li>
	<li>`u_t` 在 `(0, 0)` 连续, 即 `psi(0) = g'(0) = 0`;</li>
	<li>`u_(t t)` 在 `(0, 0)` 连续, 即 `g''(0) - a^2 varphi''(0) = f(0,
		0)`, 或 `a^2 varphi''(0) + f(0, 0) = 0`.
	</li>
	以上是保证 `u` 在角点二次可微的必要条件.
</ol>

<p class="theorem">
	设 `varphi(x) in C^2(bar R)`, `psi(x) in C^1(bar R)`,
	`f(x, t) in C^1(bar Q)`, `g(t) in C^3(bar R)`
	且满足相容性条件 1 ~ 3,
	则一维波动方程第一类边界条件的半无界问题存在解 `u in C^2(bar Q)`,
	其表达式由函数变换 `v = u - g(t)` 及
	<a class="ref" href="#for-half-unbounded-1"></a>
	<a class="ref" href="#for-half-unbounded-2"></a>
	给出.
</p>

<p class="remark">
	若在边界 `x = 0` 上给出第二类边界条件 `u_x|_(x=0) = g(t)`,
	则先作函数代换 `v = u - x g(t)` 把 `x = 0` 上的边界条件化为齐次的
	`v_x|_(x=0) = 0`, 再用<b>偶对称开拓法</b>求解. 同样,
	加上一定光滑性条件和相容性条件后, 能证明解的存在性.
</p>

<h2>多维波动方程初值问题</h2>

<h3>三维情形: 球面平均法</h3>

<span class="formula">`{
	u_(t t)^2 - a^2 laplace u = f(bm x, t),
		bm x in RR^3","t in (0","+oo);
	u"|"_(t=0) = varphi(bm x), bm x in RR^3;
	u_t"|"_(t=0) = psi(bm x), bm x in RR^3;
:}`
<span class="label" id="for-wave-equation-3d">(2-9)</span>
</span>

<p> 设 `h(bm x) in C^2(RR^3)`, `I` 是 `h` 在以 `bm x` 为心, `r`
	为半径的球面上的平均值:
	<span class="formula">
		`  I(bm x, r";" h)
		=  1/(4 pi r^2) iint_(|bm z|=r) h(bm x + bm z) "d"sigma_(bm z)`
		`= 1/(4 pi) iint_(|bm y|=1) h(bm x + r bm y) "d"sigma_(bm y)`.
	</span>
	下证 `del^2/{:del r:}^2 (rI) = laplace(rI)` (这里 `laplace`
	算子仅作用于 `bm x`, 不作用于 `r`).
</p>

<p class="proof">
	注意到
	<span class="formula">
		`  int_0^r 4 pi rho^2 I(bm x, rho, h) "d"rho`
		`= int_0^r"d"rho iint_(|bm z|=rho)h(bm x+bm z)"d"sigma_(bm z)`
		`= iiint_(|bm z| le r) h(bm x + bm z) "d" bm z`,<br/>
		`  del/(del r) I(bm x, r; h)
		=  1/(4 pi) iint_(|bm y|=1) sum_(i=1)^3 y_i del/(del x_i)
		   h(bm x+r bm y) "d"sigma_(bm y)`
		`= 1/(4 pi r^2) iint_(|bm z|=r) sum_(i=1)^3 z_i/r
		   del/(del z_i) h(bm x+bm z) "d"sigma_(bm z)`,<br/>
	</span>
	我们有
	<span class="formula">
		`  laplace int_0^r 4 pi rho^2 I(bm x, rho; h) "d"rho`
		`= iiint_(|bm z| le r) laplace_(bm x) h(bm x+bm z)"d"bm z`
		`  overset ?
		=  iiint_(|bm z| le r) laplace_(bm z) h(bm x+bm z)
		   "d"bm z`
		`  ==^"Gauss formula"
		   iint_(|bm z|=r) del/(del bm n_(bm z)) h(bm x+bm z)
		   "d"sigma_(bm z)`
		`= iint_(|bm z|=r) sum_(i=1)^3 z_i/r del/(del z_i) h(bm x+bm z)
		   "d"sigma_(bm z)`
		`= 4 pi r^2 del/(del r) I(bm x, r";" h)`.
	</span>
	于是
	<span class="formula">
		`  del^2/{:del r:}^2 (r I)`
		`= del/(del r) (I + r (del I)/(del r))`
		`= r (del^2 I)/{:del r:}^2 + 2 (del I)/(del r)`
		`= 1/(4 pi r) del/(del r) (4 pi r^2 (del I)/(del r))`
		`= 1/(4 pi r) del/(del r) laplace int_0^r 4 pi rho^2
		   I(bm x,rho";"h) "d"rho`
		`= r laplace I`
		`= laplace(r I)`.
	</span>
</p>

<p>	由于<a class="ref" href="#the-three-in-one"></a>
	的结论对三维情形也成立, 我们只须考虑
	<a class="ref" href="#for-wave-equation-3d"></a>中
	`f = varphi = 0` 的情况. 设 `u_2` 是 
	<a class="ref" href="#for-wave-equation-3d"></a>
	当 `f = varphi = 0` 时的解,
	`M(bm x, r, t) = r I(bm x, r";" u_2)`, 则
	<span class="formula">
		`  a^2 (del^2 M)/{:del r:}^2 = a^2 laplace M`
		`= (a^2 r)/(4 pi) iint_(|bm y|=1) laplace u_2(bm x+r bm y, t)
		   "d"sigma_(bm y)`
		`= r/(4 pi) iint_(|bm y|=1) del^2/{:del t:}^2 u_2(bm x+r bm y, t)
		   "d"sigma_(bm y)`
		`= (del^2 M)/{:del t^2:}`
	</span>
	容易验证, 对每一个固定的 `bm x`, `M(bm x, r, t)`
	是下述一维半无界问题的解:
	<span class="formula">`{
		(del^2 M)/{:del t:}^2 - a^2 (del^2 M)/{:del r^2:} = 0;
		M"|"_(t=0) = 0;
		M_t"|"_(t=0) = r I(bm x,  r";" psi);
		M"|"_(r=0) = 0;
	:}`
	</span>
	由半无界问题的解的表达式, 当 `0 le r le at` 时,
	<span class="formula">
		`M(bm x, r, t) = 1/(2a) int_(at-r)^(at+r)rho I(bm x,rho";"psi)
		"d"rho`.
	</span>
	从而
	<span class="formula">
		`  u_2(bm x, t) = lim_(r to 0) M/r`
		`= lim_(r to 0) 1/(2 a r) int_(at-r)^(at+r) rho I(bm x,rho";"psi)
		   "d"rho`
		`= 1/(2a) lim_(r to 0) ( (at+r) I(bm x,at+r";"psi) + (at-r)
		   I(bm x,at-r";" psi))`
		`= t I(bm x, at";" psi)`
		`= t/(4 pi) iint_(|bm y|=1) psi(bm x + a t bm y) "d"sigma_(bm y)`
		`= 1/(4 pi a^2 t) iint_(|bm y|=at) psi(bm x+bm y) "d"sigma_(bm
		   y)`.
	</span>
</p>

<p>	由<a class="ref" href="#the-three-in-one"></a>,
	<a class="ref" href="#for-wave-equation-3d"></a>
	的解为 (<b>Kirchhoff 公式</b>)
	<span class="formula">
		`  u(bm x, t)`
		`= 1/(4 pi a^2) (
		   del/(del t) (1/t iint_(|bm y-bm x|=at) varphi(bm y) "d"sigma)
		+ 1/t iint_(|bm y-bm x|=at) psi(bm y) "d"sigma
		+ int_0^t 1/(t-tau) "d"tau iint_(|bm y-bm x|=a(t-tau))
		   f(bm y, tau) "d"sigma)`.
	</span>
</p>

<h3>二维情形: 降维法</h3>

<span class="formula">`{
	u_(t t)^2 - a^2 laplace u = f(bm x","t),
		bm x in RR^2","t in (0","+oo);
	u"|"_(t=0) = varphi(bm x), bm x in RR^2;
	u_t"|"_(t=0) = psi(bm x), bm x in RR^2;
:}`
<span class="label" id="for-wave-equation-2d">(2-10)</span>
</span>

<p>	如果将 <a class="ref" href="#for-wave-equation-2d"></a>
	视为三维问题, 并证明它的解是与 `x_3` 无关的函数,
	那么此函数限制在二维空间上就是 
	<a class="ref" href="#for-wave-equation-2d"></a>
	的解. 这一思想称为<b>降维法</b>.
</p>

<p>	因为 `f`, `varphi`, `psi` 都与 `x_3` 无关, 因此我们可以将 Kirchhoff
	公式中的曲面积分化为其在 `(x_1, x_2)` 平面上投影区域内的二重积分,
	注意到
	<span class="formula">
		`"d"sigma = (at)/sqrt(a^2 t^2 - |bm y-bm x|^2) "d"bm y`<br/>
		或
		`"d"sigma = (a(t-tau))/sqrt(a^2 (t-tau)^2-|bm y-bm x|^2) "d"bm y`,
	</span>
	我们有 (<b>Poisson 公式</b>)
	<span class="formula">
		`  u(bm x, t)`
		`= 1/(2pi a)
		   del/(del t) iint_(|bm y-bm x| le at)
		   (varphi(bm y)) / sqrt(a^2 t^2 - |bm y-bm x|^2) "d"bm y`
		`+ 1/(2pi a) iint_(|bm y-bm x| le at)
		   (psi(bm y)) / sqrt(a^2 t^2 - |bm y-bm x|^2) "d"bm y`
		`+ 1/(2pi ) int_0^t "d"tau iint_(|bm y-bm x| le a(t-tau))
		   (f(bm y, tau))/sqrt(a^2(t-tau)^2-|bm y-bm x|^2) "d"bm y`.
	</span>
	它的确是与 `x_3` 无关的函数.
</p>

<h3>解的存在定理</h3>

<div class="theorem">
	若 `Q = RR^n xx (0, +oo)`, `varphi in C^3(RR^n)`, `psi in C^2(RR^n)`,
	`f in C^2 (bar Q)`, 则
	<ol>
		<li>`n = 2` 时, 由 Poisson 公式给出的 `u in C^2(bar Q)` 是
			<a class="ref" href="#for-wave-equation-2d"></a>
			的解;
		</li>
		<li>`n = 3` 时, 由 Kirchhoff 公式给出的 `u in C^2(bar Q)` 是
			<a class="ref" href="#for-wave-equation-3d"></a>
			的解.
		</li>
	</ol>
</div>

<p class="corollary">
	若 `varphi`, `psi`, `f` 是 `x` 的偶 (奇, 周期) 函数, 则解 `u` 亦是 `x`
	的偶 (奇, 周期) 函数.
</p>

<h3>特征锥</h3>

<ol>考虑二维波动方程. 由 Poisson 公式可以看出, 波动方程的解有以下重要性质:
	<li>解 `u` 在任一点 `P_0(x_0, y_0, t_0)` 的值只依赖于外力 `f`
		在<b>特征锥</b>
		<span class="formula">
			`K_(P_0) = {(x, y, t): sqrt((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2)
			 le a(t_0 - t), 0 le t le t_0}`
		</span>
		内的值和 `varphi, psi` 在<b>`P_0` 对初值的依赖区域</b>
		`D_(P_0) = K_(P_0) nn {t = 0}` 上的值.
		这反映了波的传播速度是有限的.
	</li>
	<li>进一步设 `f -= 0`, 且初始时刻的 `varphi, psi` 只在一小块区域 `D_0`
		上不等于 0, 我们把上半空间 `RR^2 xx (0, oo)` 受小块区域 `D_0`
		扰动影响的区域称为<b>`D_0` 的影响区域</b>, 记为 `J_(D_0)`. 易知
		<span class="formula">
			`J_(D_0) = {P: D_P nn D_0 != O/}`.
		</span>
		特别当 `D_0` 为一点 `(x_0, y_0)` 时,
		<span class="formula">
			`J_((x_0","y_0)) = {P: (x_0, y_0) in D_P}`
			`= {(x, y, t): sqrt((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2) le at, t ge 0}`.
		</span>
		这表明膜上任一点 `(x, y)` 如果与 `(x_0, y_0)` 的距离大于 `at`,
		那么在 `t` 时刻内, `(x_0, y_0)` 点的初始扰动不可能达到点 `(x, y)`.
	</li>
	<li>仍设 `f -= 0`. 给定 `xy` 平面上任一区域 `D`, 称上半空间中能由
		`D` 中 `varphi, psi` 的值完全决定的点的集合为<b>`D`
		的决定区域</b>, 记为 `F_D`. 易知
		<span class="formula">
			`F_D = {P: D_P sube D}`.
		</span>
	</li>
	三维波动方程也可做类似的讨论.
</ol>

<h3>Huygens 原理与波的弥漫</h3>

<p>	设 `f -= 0`, 比较二维与三维波动方程. 注意到三维情形下,
	`u` 值只依赖于其依赖区域 (一个球) 的边界 
	<span class="formula">
		`del D_(P_0) = {(x, y, z): sqrt((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2)
		= at}`
	</span>
	上的初值 `varphi, psi`, 而与它们在依赖区域内部的值无关;
	但在二维情形, `u` 依赖于整个依赖区域上的 `varphi, psi`.
	这个差别在物理上产生了截然不同的效果.
</p>

<ol class="enum">
	设想在初始时刻, `varphi, psi` 只在区域 `D_0` 上不为 0,
	考虑 `D_0` 外一点 `P_0`, 令
	<span class="formula">
		`d_min = inf_(P in D_0) d(P_0, P)`, `quad`
		`d_max = Sup_(P in D_0) d(P_0, P)`,</br>
		`t_min = d_min//a`, `quad t_max = d_max//a`.
	</span>
	其中 `d(P_0, P)` 为 `P_0, P` 两点间的距离.
	现考虑 `t gt 0` 时刻 `P_0` 点的振动情况.
	<li>三维情形下, 由 Kirchhoff 公式知:
		<ol>
			<li>`0 lt t lt t_min` 时, 波未传播到 `P_0`,
				`del D_(P_0) nn D_0 = O/`, 故 `u = 0`;
			</li>
			<li>`t_min lt t lt t_max` 时, 波正在穿过 `P_0`,
				`del D_(P_0) nn D_0 != O/`, 故 `u != 0`;
			</li>
			<li>`t gt t_max` 时, 波已经穿过 `P_0`,
				`del D_(P_0) nn D_0 = O/`, 故 `u = 0`;
			</li>
		</ol>
		这表明三维情形的波的传播 (如声波) 有清晰的波前和波后. 这一现象称为
		<b>Huygens 原理</b>.
	</li>
	<li>二维情形下, 由 Poisson 公式知:
		<ol>
			<li>`0 lt t lt t_min` 时, `D_(P_0) nn D_0 = O/`, 故 `u = 0`;
			</li>
			<li>`t gt d_min` 时, `D_(P_0) nn D_0 != O/`, 故 `u != 0`.
			</li>
		</ol>
		这表明二维情形的波的传播 (如膜振动) 只有明显的波前而无波后.
		这一现象称为波的<b>弥漫</b>.
	</li>
</ol>

<h2>波动方程混合问题: 分离变量法</h2>

<p>	分离变量法又称 Fourier 方法, 它不仅适用于波动方程, 也适用于热传导方程,
	位势方程和某些形式更复杂的方程/方程组.
</p>

<h3>二阶常微分方程边值问题</h3>

<p class="definition" id="def-sturm-liouville">
	考虑二阶常微分方程齐次边值问题
	<span class="formula">`{
		X'' + lambda X = 0 quad x in (0","l);
		(alpha_1 X' - beta_1 X)"|"_(t=0) = 0;
		(alpha_2 X' + beta_2 X)"|"_(t=l) = 0;
	:}`
	</span>
	其中 `alpha_1, alpha_2, beta_1, beta_2 ge 0`, 且 `alpha_i, beta_i`
	不全为零, `i = 1, 2`.
	如果存在 `lambda in CC` 使上述问题有非零解, 则称 `lambda`
	是该边值问题的<b>特征值</b>, 相应的非零解称为对应于 `lambda`
	的<b>特征函数</b>.
	求所有特征值和特征函数的问题称为<b>特征值问题</b>或
	<b>Sturm-Liouville 问题</b>.
</p>

<ol class="theorem" id="the-sturm-liouville">
	问题如 <a class="ref" href="#def-sturm-liouville"></a>,
	我们有:
	<li>所有特征值都是非负实数, 特别当 `beta_1, beta_2` 不全为零时,
		所有特征值是正数;
	</li>
	<li>所有特征值组成一个严格单调递增, 以无穷远点为聚点的序列:
		<span class="formula">
			`0 le lambda_1 lt lambda_2 lt cdots lt lambda_n lt cdots`,
			`lim_(n to oo) lambda_n = oo`;
		</span>
	</li>
	<li>不同特征值对应的特征函数必<b>正交</b>; 即若 `X_lambda(x), X_mu(x)`
		分别是对应于不同特征值 `lambda, mu` 的特征函数, 则
		<span class="formula">
			`int_0^l X_lambda(x) X_mu(x) dx = 0`;
		</span>
	</li>
	<li>任意 `f(x) in L_2[0, l]` 可以按特征函数系 `{X_n(x)}` <b>展开</b>,
		即 `f(x) = sum_(n=1)^oo C_n X_n(x)`, 这里的收敛是 `L_2[0, l]`
		意义的, 即
		<span class="formula">
			`lim_(N to oo)
			sqrt(int_0^l (f(x) - sum_(n=1)^N C_n X_n(x))^2 dx) = 0`.
		</span>
		其中 Fourier 系数
		<span class="formula">
			`C_n = (int_0^l f(x) X_n(x) dx)/(int_0^l X_n^2(x) dx)`.
		</span>
	</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>设 `X_lambda(x)` 是对应于特征值 `lambda` 的特征函数,
		由 `X_lambda(x)` 适合边界条件知
		<span class="formula">
			` 0
			= (X_lambda'(0) - X_lambda(0))
			  (alpha_1 X_lambda'(0) - beta_1 X_lambda(0))`
			`= alpha_1 (X_lambda'(0))^2 + beta_1 X_lambda^2(0)
			  - (alpha_1 + beta_1) X_lambda(0) X_lambda'(0)`,
		</span>
		即
		<span class="formula">
			` (alpha_1 + beta_1) X_lambda(0) X_lambda'(0)
			= alpha_1 (X_lambda'(0))^2 + beta_1 X_lambda^2(0)`.
		</span>
		同理
		<span class="formula">
			` -(alpha_2 + beta_2) X_lambda(l) X_lambda'(l)
			= alpha_2 (X_lambda'(l))^2 + beta_2 X_lambda^2(l)`.
		</span>
		故
		<span class="formula">
			` -X_lambda X_lambda'|_(x=0)^(x=l)
			=   (alpha_1 (X_lambda'(0))^2 + beta_1 X_lambda^2(0))
			  / (alpha_1 + beta_1)`
			  `+ (alpha_2 (X_lambda'(l))^2 + beta_2 X_lambda^2(l))
			  / (alpha_2 + beta_2)`
			  `ge 0`.
		</span>
		又因为
		<span class="formula">
			`lambda X_lambda = -X_lambda''`.
		</span>
		上式两端同乘 `X_lambda` 并在 `[0, l]` 上积分, 应用分部积分得
		<span class="formula">
			` lambda int_0^l X_lambda^2 dx
			= -int_0^l X_lambda X_lambda'' dx`
			`= int_0^l (X_lambda')^2 dx-X_lambda X_lambda'|_(x=0)^(x=l)`.
		</span>
		因此 `lambda ge 0`.
		现在设 `lambda = 0`. 由上式, 这蕴含
		<span class="formula">
			`X_lambda'(x) = 0`, 且
			`beta_1/(alpha_1 + beta_1) X_lambda^2(0)
			+ beta_2/(alpha_2 + beta_2) X_lambda^2(l) = 0`.
		</span>
		前一式指出 `X_lambda(x)` 为常数; 后一式指出, 若
		`beta_1, beta` 不全为零, 那么 `X_lambda(x) -= 0`.
		这说明 `lambda = 0` 不是特征值.
	</li>
	<li></li>
	<li>设 `X_lambda, X_mu` 分别为相应于特征值 `lambda, mu` 的特征函数.
		设 `J(x) = X_lambda(x) X_mu'(x) - X_lambda'(x) X_mu(x)`,
		由第一个边界条件,
		<span class="formula">
			`alpha_1 X_lambda'(0) - beta_1 X_lambda(0) = 0`,<br/>
			`alpha_1 X_mu'(0) - beta_1 X_mu(0) = 0`.
		</span>
		这是一组以 `alpha_1, beta_1` 为未知数的齐次方程组.
		由 `alpha_1, beta_1` 不全为零知方程组的系数行列式为零,
		即 `J(0) = 0`, 同理由第二个边界条件得 `J(l) = 0`.

		现在以 `X_mu` 和 `X_lambda` 分别乘相应于 `X_lambda, X_mu` 的方程,
		并在 `[0, l]` 上积分,
		<span class="formula">
			`int_0^l(X_mu X_lambda''+ lambda X_mu X_lambda) dx = 0`,<br/>
			`int_0^l(X_lambda X_mu''+ mu X_lambda X_mu) dx = 0`.
		</span>
		应用分部积分得
		<span class="formula">
			`X_mu X_lambda'|_(x=0)^(x=l) - int_0^l X_mu' X_lambda' dx
			+ lambda int_0^l X_mu X_lambda dx = 0`,<br/>
			`X_lambda X_mu'|_(x=0)^(x=l) - int_0^l X_lambda' X_mu' dx
			+ mu int_0^l X_lambda X_mu dx = 0`.
		</span>
		相减得
		<span class="formula">
			` (lambda - mu) int_0^l X_mu X_lambda dx
			= (X_lambda X_mu' - X_lambda' X_mu)_(x=0)^(x=l)
			= J(l) - J(0) = 0`.
		</span>
		由于 `lambda != mu`, 必有 `int_0^l X_lambda X_mu dx = 0`.
		<!-- 3 能证 1 ? -->
	</li>
	<li></li>
</ol>

<ol class="remark">
	<li>由上述定理的 1 知, `lambda = 0` 是 Sturm-Liouville
		问题的特征值当且仅当 `beta_1 = beta_2 = 0`, 即当且仅当
		Sturm-Liouville 问题的边界条件是第二类的.
	</li>
	<li>上述定理的 4 指出, 全体特征函数 `{X_n(x)}` 构成 `L_2[0,l]`
		空间的一组完备正交基.
	</li>
</ol>

<h3>问题描述</h3>

<p>	考虑两端固定的弦振动方程混合问题
	(这是一维波动方程第一边值问题的一个特例):
	<span class="formula">`{
		(del^2 u)/(del t^2) - a^2 (del^2 u)/(del x^2) = 0, (x,t) in Q;
		u|{::}_(x=0) = u|_(x=l) = 0,\ t in R;
		u"|"_(t=0) = varphi(x), x in bar I;
		u_t"|"_(t=0) = psi(x), x in bar I;
	:}`
	</span>
	其中 `I = (0, l)`, `R = (0, +oo)`, `Q = I xx R`.
</p>

<h3>形式解</h3>

<p>
	<span class="formula">
		` u(x, t)
		= sum_(n=1)^oo sin beta_n x
		  (psi_n/(beta_n a) sin beta_n a t + varphi_n cos beta_n a t)`,
	</span>
	其中 `beta_n^2` 是全体特征值.
</p>

<ol class="solution">
<li>
	设该混合问题具有<b>变量分离形式</b>的非零解 `u(x, t) = X(x) T(t)`,
	将 `u = XT` 代入边界条件得
	<span class="formula">
		`X(0) T(t) = X(l) T(t) = 0`, `AA t gt 0`.
	</span>
	由于 `u` 是非零解, `T(t) !-= 0`. 从而必有
	<span class="formula">
		`X(0) = X(l) = 0`.
	</span>
	另一方面, 将形式解 `X(x) T(t)` 代入方程得
	<span class="formula">
		`X T'' - a^2 X'' T = 0`, `AA (x, t) in Q`.
	</span>
	即
	<span class="formula">
		`(T'')/(a^2 T) = (X'')/X`, `AA (x, t) in Q`.
	</span>
	上式左端是 `t` 的函数, 右端是 `x` 的函数, 因此只能是常数.
	记这个常数为 `-lambda`, 有
	<span class="formula">
		`T'' + a^2 lambda T = 0`, `t in R`,<br/>
		`X'' + lambda X = 0`, `x in I`.
	</span>
	至此, 得到一个 Sturm-Liouville 问题
	<span class="formula">`{
		X'' + lambda X = 0 quad x in I;
		X|{::}_(x=0) = X|_(x=l) = 0;
	:}`
	<span class="label" id="for-variable-separation-x">(2-11)</span>
	</span>
	和一个二阶常微分方程
	<span class="formula">
		`T'' + a^2 lambda T = 0, t in R`.
	<span class="label" id="for-variable-separation-t">(2-12)</span>
</li>

<li>
	现在看特征值问题<a class="ref" href="#for-variable-separation-x"></a>.
	由<a class="ref" href="#the-sturm-liouville"></a>,
	所有特征值都是正的, 令 `lambda = beta^2`, 得到通解
	<span class="formula">
		`X(x) = C_1 sin beta x + C_2 cos beta x`.
	</span>
	由边界条件得
	<span class="formula">
		`C_2 = 0`, `quad C_1 sin beta l = 0`.
	</span>
	再由 `X(x) !-= 0` 知 `C_1 != 0`, 于是 `sin beta l = 0`, 即
	<span class="formula">
		`sqrt lambda_n = beta_n = (n pi)/l`, `n = 1, 2, cdots`.
	</span>
	特别取 `C_1 = 1`, 得到相应的特征函数
	<span class="formula">
		`X_n(x) = sin beta_n x`, `n = 1, 2, cdots`.
	</span>
</li>

<li>
	再看特征值问题<a class="ref" href="#for-variable-separation-t"></a>.
	为使原问题有变量分离形式的解, 现在 `lambda` 只能取 `beta_n^2`,
	`n = 1, 2, cdots`. 将它们分别代入, 得通解
	<span class="formula">
		`T_n(t) = A_n sin beta_n a t + B_n cos beta_n a t`,
		`n = 1, 2, cdots`.
	</span>
	令
	<span class="formula">
		`u_n(x, t) = X_n(x) T_n(t)`,
	</span>
	则 `u_n` 适合原方程及其边界条件.  注意到原方程及其边界条件都是齐次的,
	所以 `u_n` 的和也同样适合它们.
	现在把所有的 `u_n` 叠加起来, 使它适合原方程的初始条件.
	由于是求形式解, 因此不妨假设所有求和与求导, 取极限的运算可以交换次序.
	<span class="formula">
		` u(x, t)
		= sum_(n=1)^oo u_n(x, t)`
		`= sum_(n=1)^oo sin beta_n x
		  (A_n sin beta_n a t + B_n cos beta_n a t)`,<br/>
	  `u|_(t=0) = sum_(n=1)^oo B_n sin beta_n x = varphi(x)`,<br/>
	  `u_t|_(t=0) = sum_(n=1)^oo A_n beta_n a sin beta_n x = psi(x)`.
	</span>
</li>

<li>
	由<a class="ref" href="#the-sturm-liouville"></a>,
	`varphi(x), psi(x)` 可以按特征函数系 `{sin beta_n x}` 展开
	<span class="formula">
		`varphi(x) = sum_(n=1)^oo varphi_n sin beta_n x`,<br/>
		`psi(x) = sum_(n=1)^oo psi_n sin beta_n x`.
	</span>
	比较得到
	<span class="formula">
		`B_n = varphi_n`, `quad A_n = psi_n/(beta_n a)`.
	</span>
	注意
	<span class="formula">
		` int_0^l sin^2 beta_n x dx
		= 1/beta_n int_0^(beta_n l) sin^2 t dt`
		`= l/(2n pi) int_0^(n pi) (1-cos 2t) dt
		= l/2`,
	</span>
	所以 Fourier 系数
	<span class="formula">
		`varphi_n = 2/l int_0^l varphi(x) sin beta_n x dx`,<br/>
		`psi_n = 2/l int_0^l psi(x) sin beta_n x dx`.
	</span>
	至此求得了混合问题的形式解.
</li>
</ol>

<h3>解的存在性定理</h3>

<p class="theorem">
	若 `varphi(x) in C^3[0,l]`, `psi(x) in C^2[0, l]`, 且
	`varphi(x), psi(x)` 在定解区域的角点 `(0,0), (l,0)`
	处适合<b>相容性条件</b>
	<span class="formula">
		` varphi(0) = varphi(l) = varphi''(0)`
		`= varphi(l) = psi(0) = psi(l) = 0`,
	</span>
	则所给混合问题存在解 `u in C^2(bar Q)`,
	其表达式由前面求出的形式解给出.
</p>

<p class="proof">
	为证明形式解确实是解, 关键在于证明所有求和可以和求导,
	取极限的运算交换次序, 即
	<span class="formula">
		`square sum_(n=1)^oo u_n = sum_(n=1)^oo square u_n`,<br/>
		` lim_(x to 0,l) sum_(n=1)^oo u_n
		= sum_(n=1)^oo lim_(x to 0,l) u_n`,<br/>
		` lim_(t to 0) del^m/(del t^m) (sum_(n=1)^oo u_n)
		= sum_(n=1)^oo lim_(t to 0) (del^m u_n)/(del t^m)`, `m = 0, 1`.
	</span>
	根据数学分析的结论, 为证明上述运算合法, 只需证明对任意 `T gt 0`, 级数
	<span class="formula">
		`sum_(n=1)^oo u_n`, `sum_(n=1)^oo D u_n`, `sum_(n=1)^oo D^2 u_n`
	</span>
	(`D` 表示对 `x, t` 的一阶微商) 在区域 `bar I xx [0, T]` 上一致收敛.
	<br/>

	由 `psi(0) = psi(l) = 0` 和分部积分公式,
	<span class="formula">
		` A_n
		= -2/(beta_n^2 a l) int_0^l psi(x) "d" cos beta_n x`
		`= 2/(beta_n^3 a l) int_0^l psi'(x) "d" sin beta_n x
		= -2/(beta_n^3 a l) int_0^l psi''(x) sin beta_n x dx`.
	</span>
	同理
	<span class="formula">
		` B_n
		= -2/(beta_n l) int_0^l varphi(x) "d" cos beta_n x`
		`= 2/(beta_n^2 l) int_0^l varphi'(x) "d" sin beta_n x
		= 2/(beta_n^3 l) int_0^l varphi''(x) "d" cos beta_n x`
		`= -2/(beta_n^3 l) int_0^l varphi'''(x) cos beta_n x dx`.
	</span>
	记
	<span class="formula">
		`a_n = 2/l int_0^l psi''(x) sin beta_n x dx`,<br/>
		`b_n = 2/l int_0^l varphi'''(x) cos beta_n dx`,
	</span>
	而 `beta_n = (2 pi n)/l`, 从而在 `bar I xx [0, T]` 上有估计
	<span class="formula">
		`|u_n| le |A_n| + |B_n| = O(n^-3)`,<br/>
		`|D u_n| = O(n^-2)`,<br/>
		`|D^2 u_n| le a_n^2 + b_n^2 + O(n^-2)`, <!-- ??? -->
	</span>
	这里 "`O`" 依赖于 `l, a` 和 `int_0^l |varphi'''(x)| dx`,
	`int_0^l |psi''(x)| dx`.
	<br/>

	从 Fourier 级数的 Bessel 不等式知, <!-- ??? -->
	<span class="formula">
		`sum_(n=1)^oo a_n^2 le 2/l int_0^l |psi''(x)|^2 dx`,<br/>
		`sum_(n=1)^oo b_n^2 le 2/l int_0^l |varphi'''(x)|^2 dx`.
	</span>
	至此由 Weierstrass 判别法知, 前面列举的所有级数在
	`bar I xx [0, T]` 上一致收敛. 从而得到:
	前述的形式解 `u in C^2(bar Q)`, 可以将 `u` 逐项对 `x, t` 微分两次,
	并适合原混合问题的所有条件.
</p>

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</body>
</html>
